àngels barcelona

Study to become “Twelve”, 2008

Drawings on paper. 35 X 50 cm
Dibujos sobre papel. 35 x 50 cm

ENG

We are surrounded by all kinds of logical circuits: in the chemistry of our food, in the networks of our telephone lines, in the maps of the metro lines, in our DNA molecules…Most of the these circuits are so complex that we can never fully follow what they are doing, but some logical systems are simple enough to be grasped in an intuitive way if they are carefully drawn for us, or placed in musical sequences.

Many lovely systems occur in what mathematicians call “combinatory designs” and I have been particularly attracted to these, as they come purely from combinations of human numbers, with no influence of architects or engineers or other human being. One block design involves placing 12 elements in 33 groups of four, such that each element occurs 11 times, and each pair of elements occurs, 3 times in 3 different groups. I spent much of the year 2008 studying different solutions of this particular design, because I wanted to write a piano piece that distributed the 12 notes onto 33 four-note chords. In order to do this intelligently however, I found that I had to begin drawing the networks. These drawings helped immensely to find the logical musical paths that finally became Twelve, a set of piano pieces. At the same time I found that the drawings had a beauty on their own, quite independent of the music.

The viewer wishing to follow the logic of the drawings that resulted will observe that in each case, the four-element groups are connected with one another, whenever they have no digits in common. In rare cases, a triangle is formed, because the three four-element groups contain all the 12 elements. These triangles are shaded except when this would make everything else unreadable. Usually, a group is connected with only two or three other groups, but some groups have four connections and seem to be a central nerve within the system, so these are circled.

Most exhibition visitors will not want to enter into the mathematics any further than this, but those who do will be interested to know that this particular design is known as (12,4,3) and that mathematics have proved that it can be formed in more than 17 million distinct ways. So the structures you see here are only a few possibilities. Since I never managed to construct a single (12,4,3) solution by myself I used formations constructed with sophisticated mathematical techniques by Reinhard Laue (Beyreuth), Leonar Soicher (London), Morales-Velarde (University of Mexico), and Kramer-Maglivera-Stinson (University of Nebraska).

CAST

Estamos rodeados por todo tipo de circuitos lógicos: en la química de nuestros alimentos, en las redes de nuestras líneas telefónicas, en los mapas de nuestras líneas de metro, en nuestro ADN… La mayoría de estos circuitos son tan complejos que nunca logramos seguir exactamente qué están haciendo. Pero algunos sistemas lógicos son suficientemente sencillos para ser captados de modo intuitivo si se nos dibujan cuidadosamente o se nos muestran integrados en secuencias musicales.

Muchos sistemas hermosos se dan en aquello que los matemáticos denominan “diseños combinatorios” y estos siempre me han resultado atractivos en la medida en que están formados exclusivamente por números humanos, sin influencia de arquitectos, ingenieros u otros seres humanos. Uno de los bloques diseñados implica ubicar 12 elementos en 33 grupos de 4 de tal modo que cada elemento ocurre 11 veces; y cada par de elementos ocurre 3 veces en 3 grupos diferentes. Me pasé gran parte del año 2008 estudiando distintas soluciones de este diseño concreto porque quería escribir una pieza para piano que distribuyese las 12 notas en 33 acordes de 4 notas. Sin embargo, para llevarlo a cabo inteligentemente, me di cuenta de que debía empezar dibujando las relaciones. Estos dibujos fueron de inmensa ayuda para encontrar los caminos lógicos de la música que pasaron a convertirse en Twelve un conjunto de piezas de piano. Al mismo tiempo, me di cuenta de que los dibujos poseían cierta belleza en sí mismos, independientemente de la música.

El observador que desee reseguir la lógica de los dibujos resultantes constatará en cada caso, los grupos de 4 elementos se conectan entre ellos cuando no tienen dígitos en común. En casos excepcionales, se forma un triángulo porque los tres grupos de 4 elementos contienen el conjunto de los 12 elementos. Estos triángulos están rellenados de negro excepto en los lugares en que conllevaría la ilegibilidad del resto. Normalmente un grupo se conecta únicamente con dos o tres grupos, pero algunos grupos tienen cuatro conexiones y parecen ser un nervio central en el interior del sistema: estos están rodeados con un círculo.

La mayoría de los visitantes de la exposición no querrán entrar en matemáticas, más allá de lo anteriormente explicado, pero para aquellos que sí lo estén, les interesará saber que este diseño se conoce como (12,4,3) y que los matemátios han demostrado que puede generarse de más de 17millones de maneras. Por lo tanto, las estructuras que se muestran aquí son únicamente unas pocas posibilidades. Puesto que nunca logré construir un (12,4,3) yo solo empleé formaciones construidas por sofisticadas técnicas matemáticas de Reinhard Laue (Beirut), Leonar Soicher (Londres), Morales-Velarde (Universidad de Méjico), and Kramer-Maglivera- Stinson (Universidad de Nebraska).